- Алгебраическая геометрия
-
Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами.
Алгебраическая геометрия обязана своим появлением нуждам теории абелевых интегралов, в которой были получены замечательные результаты, касающиеся алгебраических кривых и имеющие чисто геометрический смысл. Например, используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Классический период алгебраической геометрии относится ко второй половине XIX века и представлен, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса.
В 30-х и 40-х годах XX века, идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в то время, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Развитие современной алгебраической геометрии во многом связано с работами французского математика А. Гротендика, который построил её на языке схем.
Содержание
Основные понятия
Аффинные многообразия
Аффинное многообразие — это множество нулей многочлена или системы многочленов от нескольких переменных.
Пример. В декартовых координатах окружность радиуса 1 с центром в начале координат задаётся уравнением
Изменяя выбор основного поля, то есть рассматривая многочлен как элемент кольца многочленов , мы получаем пример аффинного многообразия над полем .
Схема
Обобщением понятия многообразия как множества решения системы уравнений является понятие схемы.Аффинная схема это топологическое пространство (спектр кольца A) вместе с пучком функций, заданных на пространстве X.
См. также
- Аналитическая геометрия
- Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами
- Алгебраическое многообразие
- Коммутативная алгебра
- Проективное пространство
- Пространство модулей
- Регулярная функция
- Схема (математика)
Литература
- Alexander Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l’IHÉS, 1960.
- Alexander Grothendieck, Séminaire de Géometrie Algébrique
- Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.
- Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970, на сайте nehudlit.ru.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах)М.: ИЛ, 1954—1955.
- Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.т.1-2, М.: Наука, 1988.
Категория:- Алгебраическая геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.